मान लीजिए कि बिंदु P(1, 2, 3) का समतल 2x - y | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए कि $Q(\alpha, \beta, \gamma)$ समतल $2x - y + z = 9$ के सापेक्ष $P(1, 2, 3)$ का प्रतिबिंब है।समतल $ax + by + cz + d = 0$ में बिंदु $(x_1,

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$594$

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(D) मान लीजिए कि $Q(\alpha, \beta, \gamma)$ समतल $2x - y + z = 9$ के सापेक्ष $P(1, 2, 3)$ का प्रतिबिंब है।समतल $ax + by + cz + d = 0$ में बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ के प्रतिबिंब के सूत्र का उपयोग करते हुए:$\frac{\alpha - 1}{2} = \frac{\beta - 2}{-1} = \frac{\gamma - 3}{1} = -2 \frac{2(1) - 1(2) + 1(3) - 9}{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = -2 \frac{2 - 2 + 3 - 9}{4 + 1 + 1} = -2 \frac{-6}{6} = 2$.अतः,$\alpha - 1 = 4 \Rightarrow \alpha = 5$,$\beta - 2 = -2 \Rightarrow \beta = 0$,और $\gamma - 3 = 2 \Rightarrow \gamma = 5$.इसलिए,$Q = (5, 0, 5)$.अब,हम सदिश $\vec{PQ}$ और $\vec{PR}$ ज्ञात करते हैं:$\vec{PQ} = (5-1, 0-2, 5-3) = (4, -2, 2)$.$\vec{PR} = (6-1, 10-2, 7-3) = (5, 8, 4)$.त्रिभुज $PQR$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\vec{PQ} 	imes \vec{PR}|$ है।$\vec{PQ} 	imes \vec{PR} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 4 & -2 & 2 \ 5 & 8 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(-8 - 16) - \hat{j}(16 - 10) + \hat{k}(32 + 10) = -24\hat{i} - 6\hat{j} + 42\hat{k}$.$|\vec{PQ} 	imes \vec{PR}| = \sqrt{(-24)^2 + (-6)^2 + (42)^2} = \sqrt{576 + 36 + 1764} = \sqrt{2376}$.क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \sqrt{2376} = \sqrt{\frac{2376}{4}} = \sqrt{594}$.क्षेत्रफल का वर्ग $594$ है।

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