समतलों x+y+z=1 और 2x+3y-z+4=0 के प्रतिच्छेदन | vedclass

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Question

(C) समतलों $P_1: x+y+z-1=0$ और $P_2: 2x+3y-z+4=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है। $(

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$y-3z+6=0$

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(C) समतलों $P_1: x+y+z-1=0$ और $P_2: 2x+3y-z+4=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है। $(x+y+z-1) + \lambda(2x+3y-z+4) = 0$ $(1+2\lambda)x + (1+3\lambda)y + (1-\lambda)z + (4\lambda-1) = 0$. चूंकि समतल $x$-अक्ष के समांतर है, इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1+2\lambda, 1+3\lambda, 1-\lambda)$, $x$-अक्ष के सदिश $\hat{i} = (1, 0, 0)$ के लंबवत होना चाहिए। अतः, उनका डॉट गुणनफल शून्य होगा: $(1+2\lambda)(1) + (1+3\lambda)(0) + (1-\lambda)(0) = 0$. $1+2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$. $\lambda = -\frac{1}{2}$ को समीकरण में रखने पर: $(x+y+z-1) - \frac{1}{2}(2x+3y-z+4) = 0$. $2$ से गुणा करने पर: $2x+2y+2z-2 - 2x-3y+z-4 = 0$. $-y + 3z - 6 = 0$, जिसे सरल करने पर $y-3z+6=0$ प्राप्त होता है।

समतलों $x+y+z=1$ और $2x+3y-z+4=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले और $x$-अक्ष के समांतर समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

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