ધારો કે બિંદુ $\left(\frac{5}{3}, \frac{5}{3}, \frac{8}{3}\right)$ નું સમતલ $x-2y+z-2=0$ માં પ્રતિબિંબ $P$ છે. જો બિંદુ $Q(6, -2, \alpha)$,જ્યાં $\alpha > 0$,નું $P$ થી અંતર $13$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત $...........$ છે.

ધારો કે રેખાઓ $\frac{x-1}{\lambda}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{2}$ અને $\frac{x+26}{-2}=\frac{y+18}{3}=\frac{z+28}{\lambda}$ સમતલીય છે અને $P$ એ આ બે રેખાઓ ધરાવતું સમતલ છે. તો નીચેનામાંથી કયું બિંદુ $P$ પર નથી?

ધારો કે $P$ એ સમતલ $\sqrt{3} x+2 y+3 z=16$ છે અને $S=\left\{\alpha \hat{i}+\beta \hat{j}+\gamma \hat{k}: \alpha^2+\beta^2+\gamma^2=1 \text{ અને } (\alpha, \beta, \gamma) \text{ નું સમતલ } P \text{ થી અંતર } \frac{7}{2} \text{ છે}\right\}$ છે. ધારો કે $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ અને $\overrightarrow{w}$ એ $S$ માં ત્રણ ભિન્ન સદિશો છે જેથી $|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}|=|\overrightarrow{v}-\overrightarrow{w}|=|\overrightarrow{w}-\overrightarrow{u}|$ થાય. ધારો કે $V$ એ સદિશો $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ અને $\overrightarrow{w}$ દ્વારા નિર્ધારિત સમાંતરબાજુ ફલકનું ઘનફળ છે. તો $\frac{80}{\sqrt{3}} V$ નું મૂલ્ય શોધો.

બિંદુઓ $(1, 1, 1)$ અને $(0, 0, 0)$ ને જોડતી સીધી રેખા સમતલ $2x + 2y + z = 10$ ને કયા બિંદુએ છેદે છે?

જો રેખા $L$ એ સમતલો $2x + 3y + z = 1$ અને $x + 3y + 2z = 2$ ની છેદરેખા હોય,અને જો રેખા $L$ એ ધન $X$-અક્ષ સાથે $\alpha$ ખૂણો બનાવતી હોય,તો $\sec \alpha$ ની કિંમત શોધો.

$\mathbb{R}^3$ માં,ધારો કે $L$ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા છે. ધારો કે $L$ પરના તમામ બિંદુઓ બે સમતલો $P_1: x+2y-z+1=0$ અને $P_2: 2x-y+z-1=0$ થી સમાન અંતરે છે. ધારો કે $M$ એ $L$ પરના બિંદુઓમાંથી સમતલ $P_1$ પર દોરેલા લંબના પગનો બિંદુગણ છે. નીચેનામાંથી કયા બિંદુઓ $M$ પર આવેલા છે?
$(A) \left(0, -\frac{5}{6}, -\frac{2}{3}\right)$
$(B) \left(-\frac{1}{6}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{6}\right)$
$(C) \left(-\frac{5}{6}, 0, \frac{1}{6}\right)$
$(D) \left(-\frac{1}{3}, 0, \frac{2}{3}\right)$