मान लीजिए कि बिंदु (-1, alpha, beta) रेखाओं f | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए कि दो रेखाएं $L_1: \frac{x+2}{-3}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-5}{2} = \lambda$ और $L_2: \frac{x+2}{-1}=\frac{y+6}{2}=\frac{z-1}{0} = \mu$ हैं।

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$25$

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(D) मान लीजिए कि दो रेखाएं $L_1: \frac{x+2}{-3}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-5}{2} = \lambda$ और $L_2: \frac{x+2}{-1}=\frac{y+6}{2}=\frac{z-1}{0} = \mu$ हैं।$L_1$ पर कोई बिंदु $P(-3\lambda-2, 4\lambda+2, 2\lambda+5)$ है और $L_2$ पर कोई बिंदु $Q(-\mu-2, 2\mu-6, 1)$ है।न्यूनतम दूरी की रेखा $PQ$ के दिक-अनुपात $L_1$ और $L_2$ के दिक-सदिशों के क्रॉस प्रोडक्ट के समानुपाती होते हैं,जो $\vec{v_1} = -3\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{v_2} = -1\hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k}$ हैं।$\vec{v_1} 	imes \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ -3 & 4 & 2 \ -1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-4) - \hat{j}(0 - (-2)) + \hat{k}(-6 - (-4)) = -4\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}$.यह सदिश $2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ के समानांतर है।सदिश $\vec{PQ} = ((\mu-3\lambda)\hat{i} + (4\lambda-2\mu+8)\hat{j} + (2\lambda+4)\hat{k})$ है।चूंकि $\vec{PQ}$ सदिश $2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ के समानांतर है,इसलिए $\frac{\mu-3\lambda}{2} = \frac{4\lambda-2\mu+8}{1} = \frac{2\lambda+4}{1}$ है।$\frac{4\lambda-2\mu+8}{1} = \frac{2\lambda+4}{1}$ से,हमें $2\lambda - 2\mu + 4 = 0 \Rightarrow \mu = \lambda + 2$ प्राप्त होता है।$\mu = \lambda + 2$ को $\frac{\mu-3\lambda}{2} = 2\lambda+4$ में रखने पर,हमें $\frac{\lambda+2-3\lambda}{2} = 2\lambda+4 \Rightarrow -\lambda+1 = 2\lambda+4 \Rightarrow 3\lambda = -3 \Rightarrow \lambda = -1$ प्राप्त होता है।अतः $\mu = -1+2 = 1$.न्यूनतम दूरी की रेखा $P(1, -2, 3)$ और $Q(-3, -4, 1)$ से होकर गुजरती है।रेखा $PQ$ का समीकरण $\frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-3}{1}$ है।चूंकि बिंदु $(-1, \alpha, \beta)$ इस रेखा पर स्थित है,इसलिए $\frac{-1-1}{2} = \frac{\alpha+2}{1} = \frac{\beta-3}{1} \Rightarrow -1 = \alpha+2 = \beta-3$ है।इस प्रकार,$\alpha = -3$ और $\beta = 2$ है।अतः,$(\alpha-\beta)^2 = (-3-2)^2 = (-5)^2 = 25$।

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