मान लीजिए कि अवकल समीकरण (4+x^{2}) dy - 2x(x^ | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(4+x^{2}) dy = 2x(x^{2}+3y+4) dx$ है।पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $(x^{2}+4) \frac{dy}{dx} = 2x^{3} + 6xy + 8x$ प्राप्त होता

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$8$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $(4+x^{2}) dy = 2x(x^{2}+3y+4) dx$ है।पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $(x^{2}+4) \frac{dy}{dx} = 2x^{3} + 6xy + 8x$ प्राप्त होता है।$(x^{2}+4) \frac{dy}{dx} - 6xy = 2x(x^{2}+4)$.$(x^{2}+4)$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} - \frac{6x}{x^{2}+4} y = 2x$ प्राप्त होता है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{6x}{x^{2}+4}$ और $Q(x) = 2x$ है।समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{-\int \frac{6x}{x^{2}+4} dx} = e^{-3 \ln(x^{2}+4)} = (x^{2}+4)^{-3} = \frac{1}{(x^{2}+4)^{3}}$ है।हल $y \cdot I.F. = \int Q(x) \cdot I.F. dx + C$ है।$y \cdot \frac{1}{(x^{2}+4)^{3}} = \int \frac{2x}{(x^{2}+4)^{3}} dx$.माना $t = x^{2}+4$,तो $dt = 2x dx$ है।$y \cdot \frac{1}{(x^{2}+4)^{3}} = \int t^{-3} dt = \frac{t^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2(x^{2}+4)^{2}} + C$.चूंकि वक्र $(0,0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $0 = -\frac{1}{2(4)^{2}} + C \implies C = \frac{1}{32}$ है।अतः,$y = -\frac{(x^{2}+4)^{3}}{2(x^{2}+4)^{2}} + \frac{(x^{2}+4)^{3}}{32} = -\frac{x^{2}+4}{2} + \frac{(x^{2}+4)^{3}}{32}$ है।$x=2$ के लिए,$y(2) = -\frac{4+4}{2} + \frac{(4+4)^{3}}{32} = -4 + \frac{512}{32} = -4 + 16 = 8$ है।

मान लीजिए कि अवकल समीकरण $(4+x^{2}) dy - 2x(x^{2}+3y+4) dx = 0$ का हल वक्र $y=y(x)$ मूल बिंदु से होकर गुजरता है। तो $y(2)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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