मान लीजिए कि दो धनात्मक पूर्णांकों का योग 24 | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए कि दो धनात्मक पूर्णांक $x$ और $y$ हैं। दिया गया है कि $x+y=24$,जहाँ $x, y \in \mathbb{N}$ है।गुणनफल $P = xy$ है। $AM-GM$ असमिका के अनुसा

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$10$

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(D) मान लीजिए कि दो धनात्मक पूर्णांक $x$ और $y$ हैं। दिया गया है कि $x+y=24$,जहाँ $x, y \in \mathbb{N}$ है।गुणनफल $P = xy$ है। $AM-GM$ असमिका के अनुसार,$\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$,इसलिए $\sqrt{xy} \leq 12$,जिसका अर्थ है कि $xy \leq 144$ है। सबसे बड़ा धनात्मक गुणनफल $144$ है (जब $x=12, y=12$ हो)।हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि $xy \geq \frac{3}{4} 	imes 144$,जिसका अर्थ है $xy \geq 108$ है।चूंकि $y = 24-x$ है,इसलिए हमें $x(24-x) \geq 108$,या $24x - x^2 \geq 108$ प्राप्त होता है,जो $x^2 - 24x + 108 \leq 0$ में सरल हो जाता है।द्विघात सूत्र का उपयोग करके $x^2 - 24x + 108 = 0$ को हल करने पर: $x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 432}}{2} = \frac{24 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{24 \pm 12}{2}$ प्राप्त होता है।अतः,$x = 6$ या $x = 18$ है। असमिका $6 \leq x \leq 18$ के लिए सत्य है।$x$ के लिए संभावित मान ${6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18}$ हैं।ऐसे कुल $13$ मान हैं।$x+y=24$ के लिए $(x, y)$ के कुल युग्मों की संख्या $23$ है (क्योंकि $x$ का मान $1$ से $23$ तक हो सकता है)।प्रायिकता $\frac{13}{23} = \frac{m}{n}$ है।अतः,$m=13$ और $n=23$ है। इसलिए $n-m = 23-13 = 10$ है।

सूची $I$	सूची $II$
$(i) \ P(A \cap B)$	$(1) \ 0.4$
$(ii) \ P(A \cap \bar{B})$	$(2) \ 0.2$
$(iii) \ P(\bar{A} \cap B)$	$(3) \ 0.3$
$(iv) \ P(\bar{A} \cap \bar{B})$	$(4) \ 0.1$

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