List-$I$ में दी गई वस्तुओं का मिलान List-$II$ की वस्तुओं से करें:

List-$I$	List-$II$
$a$. यदि $y=|x|+|x-2|$ है, तो $x=2$ पर $\frac{dy}{dx}=$	$i$. $2$
$b$. यदि $f(x)=|\cos 2x|$ है, तो $f^{\prime}(\frac{\pi}{4}+)=$	$ii$. $0$
$c$. यदि $f(x)=\sin(\pi[x])$ है, जहाँ $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन है, तो $f^{\prime}(1-)=$	$iii$. $-2$
$d$. यदि $f(x)=\log|x-1|, x \neq 1$ है, तो $f^{\prime}(\frac{1}{2})=$	$iv$. अस्तित्व नहीं है

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{{e^{{e^{{x^2}}}}} - e}}{x}} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f:\left[-\frac{1}{2}, 2\right] \rightarrow R$ और $g:\left[-\frac{1}{2}, 2\right] \rightarrow R$ फलन हैं जो $f(x)=\left[x^2-3\right]$ और $g(x)=|x| f(x)+|4 x-7| f(x)$ द्वारा परिभाषित हैं,जहाँ $[y]$,$y \in R$ के लिए $y$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है। तो
$(A)$ $f$,$\left[-\frac{1}{2}, 2\right]$ में ठीक तीन बिंदुओं पर असतत है
$(B)$ $f$,$\left[-\frac{1}{2}, 2\right]$ में ठीक चार बिंदुओं पर असतत है
$(C)$ $g$,$\left(-\frac{1}{2}, 2\right)$ में ठीक चार बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है
$(D)$ $g$,$\left(-\frac{1}{2}, 2\right)$ में ठीक पांच बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है

माना $f(x) = x|x|$,$g(x) = \sin x$ और $h(x) = (g \circ f)(x)$ है। तब

मान लीजिए कि $f$ और $g$ अंतराल $(-1, 1)$ पर परिभाषित वास्तविक मान वाले फलन हैं,इस प्रकार कि $g^{\prime \prime}(x)$ सतत है,$g(0) \neq 0$,$g^{\prime}(0) = 0$,$g^{\prime \prime}(0) \neq 0$,और $f(x) = g(x) \sin x$.
$\text{कथन}-1$: $\lim_{x \rightarrow 0} [g(x) \cot x - g(0) \operatorname{cosec} x] = f^{\prime \prime}(0)$.
$\text{कथन}-2$: $f^{\prime}(0) = g(0)$.

मान लीजिए $f:[0,3] \rightarrow R$ को $f(x)=\min \{x-[x], 1+[x]-x\}$ द्वारा परिभाषित किया गया है,जहाँ $[x]$ वह महत्तम पूर्णांक है जो $x$ से कम या उसके बराबर है। मान लीजिए $P$ उन सभी $x \in[0,3]$ का समुच्चय है जहाँ $f$ असतत है,और $Q$ उन सभी $x \in(0,3)$ का समुच्चय है जहाँ $f$ अवकलनीय नहीं है। तो $P$ और $Q$ में अवयवों की संख्या का योग $......$ है।