$x - 2y \leq 0$,$-3x + y \leq 4$,$x - y \leq 6$ और $x, y \geq 0$ के अंतर्गत $Z = 3x - 4y$ का अधिकतमीकरण और न्यूनतमीकरण कीजिए।
(A) हमें $x - 2y \leq 0$,$-3x + y \leq 4$,$x - y \leq 6$ और $x, y \geq 0$ के अंतर्गत $Z = 3x - 4y$ का अधिकतमीकरण और न्यूनतमीकरण करना है।
ये असमिकाएं चित्र में दिखाए गए अनुसार एक सुसंगत क्षेत्र बनाती हैं। यह सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध (unbounded) है जिसके कोणीय बिंदु $O(0, 0)$,$A(12, 6)$ और $B(0, 4)$ हैं।
चूंकि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है,इसलिए हमें यह जांचना होगा कि न्यूनतम और अधिकतम मान मौजूद हैं या नहीं।
$1$. न्यूनतम मान के लिए: हम असमिका $3x - 4y < -16$ की जांच करते हैं। $3x - 4y < -16$ द्वारा परिभाषित खुले अर्ध-तल के सुसंगत क्षेत्र के साथ सामान्य बिंदु हैं। इसलिए,$Z$ का कोई न्यूनतम मान नहीं है।
$2$. अधिकतम मान के लिए: हम असमिका $3x - 4y > 12$ की जांच करते हैं। $3x - 4y > 12$ द्वारा परिभाषित खुले अर्ध-तल का सुसंगत क्षेत्र के साथ कोई सामान्य बिंदु नहीं है। इसलिए,$Z$ का अधिकतम मान $12$ है,जो बिंदु $A(12, 6)$ पर प्राप्त होता है।
ये असमिकाएं चित्र में दिखाए गए अनुसार एक सुसंगत क्षेत्र बनाती हैं। यह सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध (unbounded) है जिसके कोणीय बिंदु $O(0, 0)$,$A(12, 6)$ और $B(0, 4)$ हैं।
| कोणीय बिंदु | $Z = 3x - 4y$ का मान |
| $O(0, 0)$ | $0$ |
| $A(12, 6)$ | $3(12) - 4(6) = 12$ |
| $B(0, 4)$ | $3(0) - 4(4) = -16$ |
चूंकि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है,इसलिए हमें यह जांचना होगा कि न्यूनतम और अधिकतम मान मौजूद हैं या नहीं।
$1$. न्यूनतम मान के लिए: हम असमिका $3x - 4y < -16$ की जांच करते हैं। $3x - 4y < -16$ द्वारा परिभाषित खुले अर्ध-तल के सुसंगत क्षेत्र के साथ सामान्य बिंदु हैं। इसलिए,$Z$ का कोई न्यूनतम मान नहीं है।
$2$. अधिकतम मान के लिए: हम असमिका $3x - 4y > 12$ की जांच करते हैं। $3x - 4y > 12$ द्वारा परिभाषित खुले अर्ध-तल का सुसंगत क्षेत्र के साथ कोई सामान्य बिंदु नहीं है। इसलिए,$Z$ का अधिकतम मान $12$ है,जो बिंदु $A(12, 6)$ पर प्राप्त होता है।
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