{left( {frac{1}{x}} right)^x} का अधिकतम मान क | vedclass

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Question

(B) माना $f(x) = {\left( {\frac{1}{x}} \right)^x} = {x^{-x}}$ है।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln(f(x)) = -x \ln(x)$ प्राप्त होता है

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${e^{1/e}}$

Vedclass · Answer

(B) माना $f(x) = {\left( {\frac{1}{x}} \right)^x} = {x^{-x}}$ है।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln(f(x)) = -x \ln(x)$ प्राप्त होता है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{f'(x)}{f(x)} = -(\ln(x) + x \cdot \frac{1}{x}) = -(\ln(x) + 1)$ प्राप्त होता है।अतः,$f'(x) = -f(x)(\ln(x) + 1) = -{\left( {\frac{1}{x}} \right)^x}(\ln(x) + 1)$ है।क्रांतिक बिंदुओं (critical points) के लिए,$f'(x) = 0$ रखने पर,जिससे $\ln(x) + 1 = 0$ प्राप्त होता है,अर्थात $\ln(x) = -1$,जिससे $x = {e^{-1}} = \frac{1}{e}$ प्राप्त होता है।$x = \frac{1}{e}$ पर फलन का मान ज्ञात करने पर,हमें $f\left( \frac{1}{e} \right) = {\left( {\frac{1}{1/e}} \right)^{1/e}} = {e^{1/e}}$ प्राप्त होता है।अतः,फलन का अधिकतम मान ${e^{1/e}}$ है।

${\left( {\frac{1}{x}} \right)^x}$ का अधिकतम मान क्या है?

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