2 sin^2 theta + 8 csc^2 theta का न्यूनतम मान | vedclass

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Question

(A) माना $f(	heta) = 2 \sin^2 	heta + 8 \csc^2 	heta$.चूँकि $\sin^2 	heta$ का मान $(0, 1]$ अंतराल में होता है,इसलिए माना $x = \sin^2 	heta$,जहाँ

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$10$

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(A) माना $f(	heta) = 2 \sin^2 	heta + 8 \csc^2 	heta$.चूँकि $\sin^2 	heta$ का मान $(0, 1]$ अंतराल में होता है,इसलिए माना $x = \sin^2 	heta$,जहाँ $x \in (0, 1]$.तब व्यंजक $f(x) = 2x + \frac{8}{x}$ बन जाता है।न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $x \in (0, 1]$ के लिए फलन $f(x) = 2x + \frac{8}{x}$ का विश्लेषण करते हैं।इसका अवकलज $f'(x) = 2 - \frac{8}{x^2}$ है।$f'(x) = 0$ रखने पर $x^2 = 4$ प्राप्त होता है,अर्थात $x = 2$ या $x = -2	ext{।}$ इनमें से कोई भी मान $(0, 1]$ अंतराल में नहीं है।चूँकि सभी $x \in (0, 1]$ के लिए $f'(x) अतः,न्यूनतम मान $x$ के सबसे बड़े मान अर्थात $x = 1$ पर प्राप्त होगा।$x = 1$ रखने पर: $f(1) = 2(1) + \frac{8}{1} = 2 + 8 = 10$.अतः,न्यूनतम मान $10$ है।

$2 \sin^2 \theta + 8 \csc^2 \theta$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $\theta \in R$):-

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मान लीजिए कि $S_n$ एक $A.P.$ के प्रथम $n$ पदों के योग को दर्शाता है। यदि $S_4 = 16$ और $S_6 = -48$ है,तो $S_{10}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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श्रेणी $1 + \frac{4}{5} + \frac{7}{5^2} + \frac{10}{5^3} + \dots$ का $n^{th}$ पद क्या होगा?

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