$CABINET$ शब्द के सभी अक्षरों का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले सभी संभावित शब्दों (अर्थ के साथ या बिना) की संख्या,जिसमें न तो $CAB$ शब्द आता है और न ही $NET$ शब्द,क्या है?

$1, 2, 3, 5$ और $7$ अंकों का उपयोग करके बनाई जा सकने वाली सात-अंकीय संख्याओं की संख्या, जिसमें प्रत्येक अंक का कम से कम एक बार उपयोग किया गया हो, क्या है?

निम्नलिखित दो कथनों पर विचार करें:
$I.$ यदि $n$ एक भाज्य संख्या है,तो $n$,$(n-1)!$ को विभाजित करता है।
$II.$ ऐसी अनंत प्राकृतिक संख्याएँ $n$ हैं जिनके लिए $n^3+2n^2+n$,$n!$ को विभाजित करता है।

$37! = 2^{\alpha_2} \cdot 3^{\alpha_3} \cdot 5^{\alpha_5} \cdots 37^{\alpha_{37}}$ के अभाज्य गुणनखंडन में,अनुपात $\alpha_3 : \alpha_5$ है:

$^{80}C_{40}$ निम्नलिखित में से किससे विभाज्य नहीं है?

एक हाई स्कूल में,$6$ लड़कों $M_1, M_2, M_3, M_4, M_5, M_6$ और $5$ लड़कियों $G_1, G_2, G_3, G_4, G_5$ के समूह से एक समिति बनाई जानी है।
$(i)$ मान लीजिए $\alpha_1$ उन तरीकों की कुल संख्या है जिनसे समिति बनाई जा सकती है ताकि समिति में $5$ सदस्य हों,जिसमें ठीक $3$ लड़के और $2$ लड़कियाँ हों।
$(ii)$ मान लीजिए $\alpha_2$ उन तरीकों की कुल संख्या है जिनसे समिति बनाई जा सकती है ताकि समिति में कम से कम $2$ सदस्य हों,और लड़कों और लड़कियों की संख्या समान हो।
$(iii)$ मान लीजिए $\alpha_3$ उन तरीकों की कुल संख्या है जिनसे समिति बनाई जा सकती है ताकि समिति में $5$ सदस्य हों,जिनमें से कम से कम $2$ लड़कियाँ हों।
$(iv)$ मान लीजिए $\alpha_4$ उन तरीकों की कुल संख्या है जिनसे समिति बनाई जा सकती है ताकि समिति में $4$ सदस्य हों,जिसमें कम से कम $2$ लड़कियाँ हों और $M_1$ तथा $G_1$ दोनों एक साथ समिति में $NOT$ हों।

$LIST-I$	$LIST-II$
$P$. $\alpha_1$ का मान	$1. 136$
$Q$. $\alpha_2$ का मान	$2. 189$
$R$. $\alpha_3$ का मान	$3. 192$
$S$. $\alpha_4$ का मान	$4. 200$
	$5. 381$
	$6. 461$

सही विकल्प है: