समीकरण x_1 + x_2 = 100 के लिए प्राकृतिक संख्य | vedclass

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Question

(C) समीकरण $x_1 + x_2 = 100$ है,जहाँ $x_1, x_2 \in \mathbb{N}$.कुल प्राकृतिक हलों की संख्या $\binom{n-1}{k-1} = \binom{100-1}{2-1} = \binom{99}{1} = 9

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$80$

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(C) समीकरण $x_1 + x_2 = 100$ है,जहाँ $x_1, x_2 \in \mathbb{N}$.कुल प्राकृतिक हलों की संख्या $\binom{n-1}{k-1} = \binom{100-1}{2-1} = \binom{99}{1} = 99$ है।हमें उन स्थितियों को बाहर करना है जहाँ $x_1$ या $x_2$ $5$ के गुणज हैं।यदि $x_1$ $5$ का गुणज है,तो $x_1 \in \{5, 10, 15, \dots, 95\}$। ऐसे $19$ मान हैं।यदि $x_1 = 5k$ है,तो $5k + x_2 = 100 \implies x_2 = 100 - 5k = 5(20-k)$।चूँकि $x_2$ एक प्राकृतिक संख्या होनी चाहिए,$20-k \ge 1 \implies k \le 19$। अतः,$19$ हल हैं जहाँ $x_1$ $5$ का गुणज है।इसी प्रकार,$19$ हल हैं जहाँ $x_2$ $5$ का गुणज है।यदि $x_1$ और $x_2$ दोनों $5$ के गुणज हैं,तो $x_1 = 5k$ और $x_2 = 5m$,इसलिए $5k + 5m = 100 \implies k + m = 20$।$k+m=20$ के लिए प्राकृतिक हलों की संख्या $\binom{20-1}{2-1} = 19$ है।Inclusion-Exclusion के सिद्धांत के अनुसार,कम से कम एक $5$ का गुणज होने वाले हलों की संख्या $19 + 19 - 19 = 19$ है।अतः,उन हलों की संख्या जिनमें कोई भी $5$ का गुणज नहीं है,$99 - 19 = 80$ है।

समीकरण $x_1 + x_2 = 100$ के लिए प्राकृतिक संख्या हलों की संख्या ज्ञात कीजिए,जहाँ $x_1$ और $x_2$ $5$ के गुणज नहीं हैं।

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