समीकरण int_{0}^{x} (t - {t})^2 dt = 2(x - 1) | vedclass

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Question

(B) माना $f(x) = \int_{0}^{x} (t - \{t\})^2 dt$. चूँकि $t - \{t\} = \lfloor t \rfloor$,समाकलन $\int_{0}^{x} \lfloor t \rfloor^2 dt$ हो जाता है।$n \le

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$2$

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(B) माना $f(x) = \int_{0}^{x} (t - \{t\})^2 dt$. चूँकि $t - \{t\} = \lfloor t \rfloor$,समाकलन $\int_{0}^{x} \lfloor t \rfloor^2 dt$ हो जाता है।$n \le x स्थिति $1$: $0 \le x स्थिति $2$: $1 \le x स्थिति $3$: $2 \le x चूँकि $x = 2.5$ अंतराल $[2, 3)$ में है,यह एक मान्य हल है।$x > 3$ के लिए,फलन $\int_{0}^{x} \lfloor t \rfloor^2 dt$ का मान $2x - 2$ की तुलना में बहुत तेजी से बढ़ता है,इसलिए कोई अन्य हल मौजूद नहीं है।हल $x = 1$ और $x = 2.5$ हैं। अतः,कुल $2$ हल हैं।

समीकरण $\int_{0}^{x} (t - \{t\})^2 dt = 2(x - 1)$ के धनात्मक हलों की संख्या ज्ञात कीजिए,जहाँ $\{ \}$ भिन्नात्मक भाग फलन को दर्शाता है:

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$ \int_{0}^{2} [x^{2}] \, dx $

$\int_{0.2}^{3.5} [x] \, dx = $ (जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है जो $x$ से बड़ा नहीं है)

$b > 3$ का वह मान जिसके लिए $12 \int \limits_{3}^{b} \frac{1}{(x^{2}-1)(x^{2}-4)} dx = \log _{e}(\frac{49}{40})$ है,बराबर है

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ के लिए,समाकलन $\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \ln(e^{\cos x}) \, d(\sin x)$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\int_0^{\pi /4} (\cos x - \sin x) dx + \int_{\pi /4}^{5\pi /4} (\sin x - \cos x) dx + \int_{2\pi }^{\pi /4} (\cos x - \sin x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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