x in (0, pi) के लिए frac{8}{3sin x - sin 3x} | vedclass

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Question

(B) दी गई असमिका: $\frac{8}{3\sin x - \sin 3x} + 3\sin^2 x \le 5$.सर्वसमिका $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$ का उपयोग करने पर,हर $3\sin x - (3\sin x -

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$1$

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(B) दी गई असमिका: $\frac{8}{3\sin x - \sin 3x} + 3\sin^2 x \le 5$.सर्वसमिका $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$ का उपयोग करने पर,हर $3\sin x - (3\sin x - 4\sin^3 x) = 4\sin^3 x$ हो जाता है।इसे असमिका में रखने पर: $\frac{8}{4\sin^3 x} + 3\sin^2 x \le 5 \Rightarrow \frac{2}{\sin^3 x} + 3\sin^2 x \le 5$.माना $f(x) = \frac{2}{\sin^3 x} + 3\sin^2 x - 5$. हमें $x \in (0, \pi)$ के वे मान ज्ञात करने हैं जिनके लिए $f(x) \le 0$ हो।माना $t = \sin x$. चूँकि $x \in (0, \pi)$,इसलिए $t \in (0, 1]$.व्यंजक $g(t) = \frac{2}{t^3} + 3t^2 - 5$ बन जाता है।$\frac{1}{t^3}, \frac{1}{t^3}, t^2, t^2, t^2$ के लिए $AM$-$GM$ असमिका का उपयोग करने पर:$\frac{\frac{1}{t^3} + \frac{1}{t^3} + t^2 + t^2 + t^2}{5} \ge \sqrt[5]{\frac{1}{t^3} \cdot \frac{1}{t^3} \cdot t^2 \cdot t^2 \cdot t^2} = \sqrt[5]{1} = 1$.अतः,$\frac{2}{t^3} + 3t^2 \ge 5$.समानता तभी संभव है जब $\frac{1}{t^3} = t^2$,जिसका अर्थ है $t^5 = 1$,अर्थात $t = 1$.चूँकि $x \in (0, \pi)$ के लिए $\sin x = 1$ केवल $x = \frac{\pi}{2}$ पर होता है,इसलिए असमिका $f(x) \le 0$ केवल $x = \frac{\pi}{2}$ के लिए सत्य है।इस प्रकार,केवल $1$ वास्तविक मान प्राप्त होता है।

$x \in (0, \pi)$ के लिए $\frac{8}{3\sin x - \sin 3x} + 3\sin^2 x \le 5$ के वास्तविक मानों की संख्या क्या है?

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