$p(x) = x^{3} + 2x^{2} - 5ax - 7$ को $(x + 1)$ से विभाजित करने पर शेषफल $R_{1}$ प्राप्त होता है और $q(x) = x^{3} + ax^{2} - 12x + 6$ को $(x - 2)$ से विभाजित करने पर शेषफल $R_{2}$ प्राप्त होता है। यदि $2R_{1} + R_{2} = 6$ है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

(A) शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $f(x)$ को $(x - c)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $f(c)$ होता है।
$p(x) = x^{3} + 2x^{2} - 5ax - 7$ को $(x + 1)$ से विभाजित करने पर,$R_{1} = p(-1) = (-1)^{3} + 2(-1)^{2} - 5a(-1) - 7 = -1 + 2 + 5a - 7 = 5a - 6$.
$q(x) = x^{3} + ax^{2} - 12x + 6$ को $(x - 2)$ से विभाजित करने पर,$R_{2} = q(2) = (2)^{3} + a(2)^{2} - 12(2) + 6 = 8 + 4a - 24 + 6 = 4a - 10$.
दिया गया है कि $2R_{1} + R_{2} = 6$,अतः $R_{1}$ और $R_{2}$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$2(5a - 6) + (4a - 10) = 6$
$10a - 12 + 4a - 10 = 6$
$14a - 22 = 6$
$14a = 28$
$a = 2$.