सभी पूर्णांकों के समुच्चय $Z$ पर,संक्रिया $*$ को $a * b = a + b - 5$ द्वारा परिभाषित किया गया है। यदि $2 * (x * 3) = 5$ है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए:

सभी शून्येतर वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर,एक संक्रिया $*$ को $a * b = \frac{3ab}{2}$ के रूप में परिभाषित किया गया है। इस समूह में,$(2 * x) * 3^{-1} = 4^{-1}$ का हल है

सिद्ध कीजिए कि $a * b = a + 2b$ द्वारा परिभाषित संक्रिया $*: R \times R \rightarrow R$ साहचर्य (associative) नहीं है।

सिद्ध कीजिए कि $(a, b) \rightarrow \max\{a, b\}$ द्वारा प्रदत्त $\vee: R \times R \rightarrow R$ और $(a, b) \rightarrow \min\{a, b\}$ द्वारा प्रदत्त $\wedge: R \times R \rightarrow R$ द्विआधारी संक्रियाएँ (binary operations) हैं।

समुच्चय $\{1,2,3,4,5\}$ पर निम्नलिखित गुणन सारणी द्वारा दी गई द्विआधारी संक्रिया $*$ पर विचार करें। क्या $^*$ क्रमविनिमेय (commutative) है?
(संकेत: निम्नलिखित सारणी का उपयोग करें)

निर्धारित कीजिए कि समुच्चय $N$ पर निम्नलिखित में से कौन सी द्विआधारी संक्रियाएँ साहचर्य हैं और कौन सी क्रमविनिमेय हैं: $a \ast b = 1$,सभी $a, b \in N$ के लिए।