બિંદુ $P$ એ લંબચોરસ $ABCD$ ના અંદરના ભાગમાં આવેલું છે. સાબિત કરો કે $PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2$.

(N/A) ધારો કે લંબચોરસ $ABCD$ કાર્તેઝિયન સમતલમાં છે. ધારો કે $A = (0, b)$,$B = (a, b)$,$C = (a, 0)$,અને $D = (0, 0)$ છે.
ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y)$ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,અંતરના વર્ગો નીચે મુજબ છે:
$PA^2 = (x - 0)^2 + (y - b)^2 = x^2 + y^2 - 2by + b^2$
$PC^2 = (x - a)^2 + (y - 0)^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2$
$PB^2 = (x - a)^2 + (y - b)^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2$
$PD^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2$
હવે,સરવાળાની ગણતરી કરીએ:
$PA^2 + PC^2 = (x^2 + y^2 - 2by + b^2) + (x^2 - 2ax + a^2 + y^2) = 2x^2 + 2y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2$
$PB^2 + PD^2 = (x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2) + (x^2 + y^2) = 2x^2 + 2y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2$
બંને સરવાળા સમાન હોવાથી,$PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2$ સાબિત થાય છે.