સાબિત કરો કે $\tan ^{-1} \sqrt{x} = \frac{1}{2} \cos ^{-1} \left( \frac{1-x}{1+x} \right)$,જ્યાં $x \in [0, 1]$.

ધારો કે $x = \tan^2 \theta$.
તેથી $\sqrt{x} = \tan \theta$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \tan^{-1} \sqrt{x}$.
પદ $\frac{1-x}{1+x}$ ને ધ્યાનમાં લો. $x = \tan^2 \theta$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \cos(2\theta)$.
હવે,જમણી બાજુ $(RHS)$ ને ધ્યાનમાં લો:
$RHS = \frac{1}{2} \cos^{-1} \left( \frac{1-x}{1+x} \right)$
$= \frac{1}{2} \cos^{-1} (\cos 2\theta)$
$= \frac{1}{2} \times 2\theta = \theta$.
કારણ કે $\theta = \tan^{-1} \sqrt{x}$,તેથી $RHS = \tan^{-1} \sqrt{x} = LHS$.
આમ,નિત્યસમ સાબિત થાય છે.