સાબિત કરો કે $\sqrt[3]{6}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) ધારો કે,વિરોધાભાસ માટે,$\sqrt[3]{6}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
ધારો કે $\sqrt[3]{6} = \frac{a}{b}$,જ્યાં $a, b \in N$ અને $g.c.d.(a, b) = 1$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 < 6 < 8$,તેથી $\sqrt[3]{1} < \sqrt[3]{6} < \sqrt[3]{8}$,જેનો અર્થ છે કે $1 < \frac{a}{b} < 2$.
આનો અર્થ એ છે કે $b > 1$,કારણ કે જો $b = 1$ હોય,તો $\frac{a}{b}$ એ પૂર્ણાંક સંખ્યા બને,પરંતુ $1$ અને $2$ ની વચ્ચે કોઈ પૂર્ણાંક સંખ્યા નથી.
બંને બાજુ ઘન કરતા,આપણને $6 = \frac{a^3}{b^3}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $6b^3 = a^3$.
કારણ કે $g.c.d.(a, b) = 1$,તેથી $g.c.d.(a^3, b^3) = 1$ થાય.
સમીકરણ $6b^3 = a^3$ પરથી,$b^3$ એ $a^3$ નો ભાજક હોવો જોઈએ. પરંતુ $g.c.d.(a^3, b^3) = 1$ હોવાથી,આ માત્ર ત્યારે જ શક્ય છે જો $b^3 = 1$ હોય,એટલે કે $b = 1$.
પરંતુ,આપણે અગાઉ સાબિત કર્યું છે કે $b > 1$. આ એક વિરોધાભાસ છે.
તેથી,આપણી ધારણા કે $\sqrt[3]{6}$ સંમેય છે તે ખોટી છે.
આમ,$\sqrt[3]{6}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.