सिद्ध कीजिए कि $(a+b+c)^{3}-a^{3}-b^{3}-c^{3}=3(a+b)(b+c)(c+a).$

(N/A) हम जानते हैं कि $(a+b+c)^3$ का विस्तार इस प्रकार है:
$(a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a+b)(b+c)(c+a)$
वैकल्पिक रूप से,हम इसे चरण-दर-चरण विस्तारित कर सकते हैं:
$(a+b+c)^3 = [(a+b)+c]^3$
$= (a+b)^3 + 3(a+b)^2c + 3(a+b)c^2 + c^3$
$= (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) + 3(a^2 + 2ab + b^2)c + 3ac^2 + 3bc^2 + c^3$
$= a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2b + 3ab^2 + 3a^2c + 6abc + 3b^2c + 3ac^2 + 3bc^2$
अब,दोनों पक्षों से $(a^3 + b^3 + c^3)$ घटाने पर:
$(a+b+c)^3 - a^3 - b^3 - c^3 = 3a^2b + 3ab^2 + 3a^2c + 6abc + 3b^2c + 3ac^2 + 3bc^2$
दाहिनी ओर से $3$ कॉमन लेने पर:
$= 3[a^2b + ab^2 + a^2c + 2abc + b^2c + ac^2 + bc^2]$
इन पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= 3(a+b)(b+c)(c+a)$
अतः,यह सिद्ध होता है कि $(a+b+c)^3 - a^3 - b^3 - c^3 = 3(a+b)(b+c)(c+a)$.