गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सभी $n \in N$ के लिए निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
$a + ar + ar^{2} + \ldots + ar^{n-1} = \frac{a(r^{n} - 1)}{r - 1}$

(N/A) माना कि दिया गया कथन $P(n)$ है,अर्थात
$P(n): a + ar + ar^{2} + \ldots + ar^{n-1} = \frac{a(r^{n} - 1)}{r - 1}$
$n = 1$ के लिए,हमारे पास है
$P(1): a = \frac{a(r^{1} - 1)}{r - 1} = a$,जो सत्य है।
माना कि किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात
$a + ar + ar^{2} + \ldots + ar^{k-1} = \frac{a(r^{k} - 1)}{r - 1}$ $(i)$
अब हम सिद्ध करेंगे कि $P(k+1)$ सत्य है।
प्रथम $(k+1)$ पदों का योग लीजिए:
$(a + ar + ar^{2} + \ldots + ar^{k-1}) + ar^{(k+1)-1}$
$= \frac{a(r^{k} - 1)}{r - 1} + ar^{k}$ [$(i)$ का उपयोग करते हुए]
$= \frac{a(r^{k} - 1) + ar^{k}(r - 1)}{r - 1}$
$= \frac{ar^{k} - a + ar^{k+1} - ar^{k}}{r - 1}$
$= \frac{ar^{k+1} - a}{r - 1}$
$= \frac{a(r^{k+1} - 1)}{r - 1}$
अतः,जब भी $P(k)$ सत्य है,तब $P(k+1)$ भी सत्य है।
इसलिए,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,कथन $P(n)$ सभी प्राकृतिक संख्याओं $n \in N$ के लिए सत्य है।