ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે તમામ $n \in N$ માટે:
$n(n+1)(n+5)$ એ $3$ નો ગુણક છે.

(N/A) ધારો કે આપેલ વિધાન $P(n)$ છે,એટલે કે
$P(n): n(n+1)(n+5)$ એ $3$ નો ગુણક છે.
પગલું $1$: $n=1$ માટે,$1(1+1)(1+5) = 1(2)(6) = 12$,જે $3$ નો ગુણક છે. આમ,$P(1)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે કોઈ ધન પૂર્ણાંક $k$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે $k(k+1)(k+5) = 3m$,જ્યાં $m \in N$.
પગલું $3$: આપણે સાબિત કરવું છે કે $P(k+1)$ સત્ય છે,એટલે કે $(k+1)(k+2)(k+6)$ એ $3$ નો ગુણક છે.
$(k+1)(k+2)(k+6) = (k^2+3k+2)(k+6) = k^3 + 9k^2 + 20k + 12$
$= (k^3 + 6k^2 + 5k) + (3k^2 + 15k + 12)$
$= k(k+1)(k+5) + 3(k^2 + 5k + 4)$
અહીં $k(k+1)(k+5)$ એ $3$ નો ગુણક છે (ધારણા મુજબ) અને $3(k^2+5k+4)$ પણ $3$ નો ગુણક છે,તેથી તેમનો સરવાળો પણ $3$ નો ગુણક થાય.
આમ,જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે.
તેથી,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,$P(n)$ એ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.