सिद्ध कीजिए कि यदि $x$ और $y$ दोनों विषम धनात्मक पूर्णांक हैं,तो $x^{2}+y^{2}$ सम है लेकिन $4$ से विभाज्य नहीं है।

(N/A) मान लीजिए कि $x = 2m + 1$ और $y = 2n + 1$ कोई भी दो विषम धनात्मक पूर्णांक हैं,जहाँ $m$ और $n$ अऋणात्मक पूर्णांक हैं।
तब,$x^{2} + y^{2} = (2m + 1)^{2} + (2n + 1)^{2}$.
सर्वसमिका $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^{2} + y^{2} = (4m^{2} + 4m + 1) + (4n^{2} + 4n + 1)$.
$x^{2} + y^{2} = 4m^{2} + 4m + 4n^{2} + 4n + 2$.
$x^{2} + y^{2} = 4(m^{2} + m + n^{2} + n) + 2$.
चूंकि $x^{2} + y^{2} = 2[2(m^{2} + m + n^{2} + n) + 1]$,इसलिए यह स्पष्ट रूप से एक सम संख्या है।
हालाँकि,जब इसे $4$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $2$ बचता है। इसलिए,$x^{2} + y^{2}$ संख्या $4$ से विभाज्य नहीं है।