सिद्ध कीजिए कि $n, n+2$ और $n+4$ में से केवल एक ही $3$ से विभाज्य है,जहाँ $n$ कोई धनात्मक पूर्णांक है।

(N/A) माना कि $n$ कोई धनात्मक पूर्णांक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,$n$ को किसी पूर्णांक $q \ge 0$ के लिए $3q, 3q+1,$ या $3q+2$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
स्थिति $1$: यदि $n = 3q$ है,तो $n, 3$ से विभाज्य है। इस स्थिति में,$n+2 = 3q+2$ और $n+4 = 3q+4 = 3(q+1)+1$ है,जिनमें से कोई भी $3$ से विभाज्य नहीं है।
स्थिति $2$: यदि $n = 3q+1$ है,तो $n+2 = 3q+1+2 = 3q+3 = 3(q+1)$ है,जो $3$ से विभाज्य है। इस स्थिति में,$n = 3q+1$ और $n+4 = 3q+1+4 = 3q+5 = 3(q+1)+2$ है,जिनमें से कोई भी $3$ से विभाज्य नहीं है।
स्थिति $3$: यदि $n = 3q+2$ है,तो $n+4 = 3q+2+4 = 3q+6 = 3(q+2)$ है,जो $3$ से विभाज्य है। इस स्थिति में,$n = 3q+2$ और $n+2 = 3q+2+2 = 3q+4 = 3(q+1)+1$ है,जिनमें से कोई भी $3$ से विभाज्य नहीं है।
अतः,सभी संभावित स्थितियों में,$n, n+2$ या $n+4$ में से ठीक एक ही $3$ से विभाज्य है।