સાબિત કરો કે $n, n+2$ અને $n+4$ માંથી માત્ર એક જ સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય છે,જ્યાં $n$ કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક છે.

(N/A) ધારો કે $n$ કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક છે. યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,$n$ ને કોઈ પૂર્ણાંક $q \ge 0$ માટે $3q, 3q+1,$ અથવા $3q+2$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે.
કિસ્સો $1$: જો $n = 3q$ હોય,તો $n$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે. આ કિસ્સામાં,$n+2 = 3q+2$ અને $n+4 = 3q+4 = 3(q+1)+1$ થાય,જેમાંથી કોઈ પણ $3$ વડે વિભાજ્ય નથી.
કિસ્સો $2$: જો $n = 3q+1$ હોય,તો $n+2 = 3q+1+2 = 3q+3 = 3(q+1)$ થાય,જે $3$ વડે વિભાજ્ય છે. આ કિસ્સામાં,$n = 3q+1$ અને $n+4 = 3q+1+4 = 3q+5 = 3(q+1)+2$ થાય,જેમાંથી કોઈ પણ $3$ વડે વિભાજ્ય નથી.
કિસ્સો $3$: જો $n = 3q+2$ હોય,તો $n+4 = 3q+2+4 = 3q+6 = 3(q+2)$ થાય,જે $3$ વડે વિભાજ્ય છે. આ કિસ્સામાં,$n = 3q+2$ અને $n+2 = 3q+2+2 = 3q+4 = 3(q+1)+1$ થાય,જેમાંથી કોઈ પણ $3$ વડે વિભાજ્ય નથી.
આમ,તમામ શક્ય કિસ્સાઓમાં,$n, n+2$ અથવા $n+4$ માંથી બરાબર એક જ સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય છે.