સાબિત કરો કે વર્તુળના સ્પર્શકના સ્પર્શબિંદુએ દોરેલો લંબ વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.

(N/A) ધારો કે $O$ કેન્દ્રવાળું એક વર્તુળ છે. ધારો કે $AB$ એક સ્પર્શક છે જે વર્તુળને $P$ બિંદુએ સ્પર્શે છે.
આપણે સાબિત કરવાનું છે કે $P$ બિંદુએ $AB$ ને લંબ રેખા કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થાય છે. આપણે આ સાબિતી વિરોધાભાસની રીત દ્વારા આપીશું.
ધારો કે $P$ બિંદુએ $AB$ ને લંબ રેખા કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થતી નથી. ધારો કે તે બીજા બિંદુ $O'$ માંથી પસાર થાય છે.
$OP$ અને $O'P$ ને જોડો.
જેમ કે $P$ બિંદુએ $AB$ ને લંબ રેખા $O'$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી,
$\angle O'PB = 90^{\circ} \dots(1)$
$O$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે અને $P$ એ સ્પર્શબિંદુ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે સ્પર્શબિંદુમાંથી પસાર થતી ત્રિજ્યા સ્પર્શકને લંબ હોય છે.
$\therefore \angle OPB = 90^{\circ} \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે
$\angle O'PB = \angle OPB \dots(3)$
આકૃતિ પરથી જોઈ શકાય છે કે,
$\angle O'PB < \angle OPB \dots(4)$
તેથી,$\angle O'PB = \angle OPB$ શક્ય નથી.
આ માત્ર ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે રેખા $O'P$ એ $OP$ સાથે સંપાતી હોય.
તેથી,$P$ માંથી પસાર થતી $AB$ ને લંબ રેખા કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થાય છે.