गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सभी $n \in N$ के लिए निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
$a+(a+d)+(a+2d)+\ldots+(a+(n-1)d) = \frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$

(A) माना $P(n)$ कथन है: $a+(a+d)+(a+2d)+\ldots+(a+(n-1)d) = \frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$.
चरण $1$: $n=1$ के लिए,बायां पक्ष $a$ है और दायां पक्ष $\frac{1}{2}[2a+(1-1)d] = \frac{1}{2}(2a) = a$ है। चूंकि बायां पक्ष = दायां पक्ष,$P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी $k \in N$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात $a+(a+d)+\ldots+(a+(k-1)d) = \frac{k}{2}[2a+(k-1)d]$.
चरण $3$: हमें दिखाना है कि $P(k+1)$ सत्य है,अर्थात $a+(a+d)+\ldots+(a+(k-1)d) + (a+kd) = \frac{k+1}{2}[2a+kd]$.
$P(k+1)$ के बाएं पक्ष से शुरू करते हुए:
$= \frac{k}{2}[2a+(k-1)d] + (a+kd)$
$= \frac{2ak + k(k-1)d + 2a + 2kd}{2}$
$= \frac{2a(k+1) + (k^2-k+2k)d}{2}$
$= \frac{2a(k+1) + (k^2+k)d}{2}$
$= \frac{2a(k+1) + k(k+1)d}{2}$
$= \frac{k+1}{2}[2a+kd]$.
अतः,जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है। गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।