गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके दर्शाइए कि $a_{1}=3$ और सभी प्राकृतिक संख्याओं $k > 1$ के लिए $a_{k}=7 a_{k-1}$ द्वारा परिभाषित अनुक्रम $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ के लिए,सभी $n \in N$ के लिए सामान्य पद $a_{n}=3 \cdot 7^{n-1}$ है।

(A) माना $P(n)$ कथन $a_{n} = 3 \cdot 7^{n-1}$ है,जहाँ $n \in N$.
चरण $1$: $n=1$ के लिए,$a_{1} = 3 \cdot 7^{1-1} = 3 \cdot 7^{0} = 3(1) = 3$. यह दिए गए $a_{1} = 3$ से मेल खाता है। अतः,$P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी $k \in N$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात $a_{k} = 3 \cdot 7^{k-1}$.
चरण $3$: हमें सिद्ध करना है कि $P(k+1)$ सत्य है,अर्थात $a_{k+1} = 3 \cdot 7^{(k+1)-1} = 3 \cdot 7^{k}$.
दिए गए संबंध $a_{k+1} = 7 a_{k}$ से,
मान $a_{k} = 3 \cdot 7^{k-1}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$a_{k+1} = 7 \cdot (3 \cdot 7^{k-1}) = 3 \cdot 7^{1} \cdot 7^{k-1} = 3 \cdot 7^{k}$.
अतः,जब भी $P(k)$ सत्य है,तब $P(k+1)$ भी सत्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$a_{n} = 3 \cdot 7^{n-1}$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।