जब P एक प्राकृतिक संख्या है,तो {P^{n + 1}} + | vedclass

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Question

(C) $n = 1$ के लिए,हमें प्राप्त होता है,${P^{1 + 1}} + {(P + 1)^{2(1) - 1}} = {P^2} + {(P + 1)^1} = {P^2} + P + 1$. यह व्यंजक ${P^2} + P + 1$ से विभाज

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${P^2} + P + 1$

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(C) $n = 1$ के लिए,हमें प्राप्त होता है,${P^{1 + 1}} + {(P + 1)^{2(1) - 1}} = {P^2} + {(P + 1)^1} = {P^2} + P + 1$. यह व्यंजक ${P^2} + P + 1$ से विभाज्य है। मान लीजिए कि दिया गया परिणाम $n = m \in N$ के लिए सत्य है,अर्थात,${P^{m + 1}} + {(P + 1)^{2m - 1}} = k({P^2} + P + 1)$ किसी $k \in N$ के लिए .....$(i)$ अब,$n = m + 1$ के लिए: ${P^{(m + 1) + 1}} + {(P + 1)^{2(m + 1) - 1}} = {P^{m + 2}} + {(P + 1)^{2m + 1}} = {P^{m + 2}} + {(P + 1)^2}{(P + 1)^{2m - 1}}$. समीकरण $(i)$ का उपयोग करते हुए,${(P + 1)^{2m - 1}} = k({P^2} + P + 1) - {P^{m + 1}}$ प्रतिस्थापित करने पर: $= {P^{m + 2}} + {(P + 1)^2}[k({P^2} + P + 1) - {P^{m + 1}}] = {P^{m + 2}} + {(P + 1)^2} \cdot k({P^2} + P + 1) - {(P + 1)^2}{P^{m + 1}} = {P^{m + 1}}[P - {(P + 1)^2}] + {(P + 1)^2} \cdot k({P^2} + P + 1) = {P^{m + 1}}[P - ({P^2} + 2P + 1)] + {(P + 1)^2} \cdot k({P^2} + P + 1) = {P^{m + 1}}[-{P^2} - P - 1] + {(P + 1)^2} \cdot k({P^2} + P + 1) = -{P^{m + 1}}({P^2} + P + 1) + {(P + 1)^2} \cdot k({P^2} + P + 1) = ({P^2} + P + 1)[k{(P + 1)^2} - {P^{m + 1}}]$. चूंकि यह ${P^2} + P + 1$ का एक गुणज है,इसलिए परिणाम $n = m + 1$ के लिए सत्य है। गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,परिणाम सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।

जब $P$ एक प्राकृतिक संख्या है,तो ${P^{n + 1}} + {(P + 1)^{2n - 1}}$ किससे विभाज्य है?

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गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि: सभी प्राकृतिक संख्याओं $n \geq 5$ के लिए $n^{2} < 2^{n}$ है।

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सभी $n \in N$ के लिए निम्नलिखित सिद्ध कीजिए:
$4+8+12+\ldots+4n = 2n(n+1)$

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके दर्शाइए कि सभी $n \in N$ के लिए $\frac{n^{5}}{5}+\frac{n^{3}}{3}+\frac{7n}{15}$ एक प्राकृतिक संख्या है।

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि: सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए $3^{2n} - 1$,$8$ से विभाज्य है।

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