गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि: सभी प्राकृतिक संख्याओं $n \geq 5$ के लिए $n^{2} < 2^{n}$ है।

(N/A) माना $P(n): n^{2} < 2^{n}$,जहाँ $n \geq 5, n \in \mathbb{N}$ है।
चरण $1$: $n = 5$ के लिए,$P(5): 5^{2} < 2^{5} \implies 25 < 32$,जो सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि $k \geq 5$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात $k^{2} < 2^{k}$ है।
हमें यह दिखाना है कि $P(k+1): (k+1)^{2} < 2^{k+1}$ सत्य है।
$(k+1)^{2} = k^{2} + 2k + 1$ पर विचार करें।
चूंकि $k^{2} < 2^{k}$,इसलिए $(k+1)^{2} < 2^{k} + 2k + 1$ है।
$k \geq 5$ के लिए,यह दिखाया जा सकता है कि $2k + 1 < k^{2} < 2^{k}$ है।
अतः,$(k+1)^{2} < 2^{k} + 2^{k} = 2 \cdot 2^{k} = 2^{k+1}$ है।
इसलिए,जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \geq 5$ के लिए सत्य है।