गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके दर्शाइए कि सभी $n \in N$ के लिए $\frac{n^{5}}{5}+\frac{n^{3}}{3}+\frac{7n}{15}$ एक प्राकृतिक संख्या है।

(N/A) $P(n): \frac{n^{5}}{5}+\frac{n^{3}}{3}+\frac{7n}{15}$ एक प्राकृतिक संख्या है,$n \in N$.
$n=1$ के लिए,$P(1) = \frac{1^{5}}{5} + \frac{1^{3}}{3} + \frac{7(1)}{15} = \frac{3+5+7}{15} = \frac{15}{15} = 1$,जो एक प्राकृतिक संख्या है।
अतः,$P(1)$ सत्य है।
मान लीजिए कि $k \in N$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात $\frac{k^{5}}{5} + \frac{k^{3}}{3} + \frac{7k}{15} = m$,जहाँ $m \in N$ है।
$n=k+1$ के लिए,$P(k+1) = \frac{(k+1)^{5}}{5} + \frac{(k+1)^{3}}{3} + \frac{7(k+1)}{15}$ है।
पदों का विस्तार करने पर: $P(k+1) = \frac{k^{5}+5k^{4}+10k^{3}+10k^{2}+5k+1}{5} + \frac{k^{3}+3k^{2}+3k+1}{3} + \frac{7k+7}{15}$ प्राप्त होता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $P(k+1) = (\frac{k^{5}}{5} + \frac{k^{3}}{3} + \frac{7k}{15}) + (k^{4} + 2k^{3} + 2k^{2} + k) + (k^{2} + k) + (\frac{1}{5} + \frac{1}{3} + \frac{7}{15})$ है।
$P(k+1) = m + k^{4} + 2k^{3} + 3k^{2} + 2k + (\frac{3+5+7}{15}) = m + k^{4} + 2k^{3} + 3k^{2} + 2k + 1$ है।
चूँकि $m, k \in N$ है,इसलिए $P(k+1)$ भी एक प्राकृतिक संख्या है।
अतः,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।