गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि: सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए $2^{3n} - 1$,$7$ से विभाज्य है।

(N/A) माना $P(n): 2^{3n} - 1$,सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए $7$ से विभाज्य है।
चरण $1$: $n = 1$ के लिए,$P(1): 2^{3(1)} - 1 = 8 - 1 = 7$,जो $7$ से विभाज्य है।
अतः,$P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी $k \in \mathbb{N}$ के लिए $P(k)$ सत्य है।
अर्थात,$2^{3k} - 1 = 7m$ किसी $m \in \mathbb{N}$ के लिए,जिसका अर्थ है $2^{3k} = 7m + 1$।
चरण $3$: हमें यह दिखाना है कि $P(k+1)$ सत्य है।
$P(k+1): 2^{3(k+1)} - 1 = 2^{3k} \cdot 2^3 - 1$।
$2^{3k} = 7m + 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= (7m + 1) \cdot 8 - 1$
$= 56m + 8 - 1$
$= 56m + 7$
$= 7(8m + 1)$,जो स्पष्ट रूप से $7$ से विभाज्य है।
इस प्रकार,जब भी $P(k)$ सत्य है,तब $P(k+1)$ भी सत्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए सत्य है।