निम्नलिखित में से किस अंतराल में फलन $f(x) = x^2 - 4$ के लिए रोले का प्रमेय लागू होता है?

जाँच कीजिए कि क्या रोले का प्रमेय फलन $f(x) = [x]$ के लिए $x \in [5, 9]$ पर लागू होता है। क्या आप इस उदाहरण से रोले के प्रमेय के विलोम के बारे में कुछ कह सकते हैं?

वास्तविक गुणांकों वाले बहुपद $g(x)$ के लिए,$m_g$ को $g(x)$ के भिन्न वास्तविक मूलों की संख्या के रूप में दर्शाया गया है। मान लीजिए $S$ वास्तविक गुणांकों वाले बहुपदों का एक समुच्चय है जिसे $S = \{(x^2-1)^2(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3) : a_0, a_1, a_2, a_3 \in \mathbb{R}\}$ द्वारा परिभाषित किया गया है। बहुपद $f$ के लिए,$f'$ और $f''$ क्रमशः इसके प्रथम और द्वितीय क्रम के अवकलज को दर्शाते हैं। तब $(m_f + m_{f'})$ का न्यूनतम संभव मान,जहाँ $f \in S$,क्या है?

मान लीजिए $f:[a, b] \rightarrow R$ इस प्रकार है कि $f$, $(a, b)$ में अवकलनीय है, $x=a$ और $x=b$ पर सतत है, और $f(a)=0=f(b)$ है। तो:

यदि $f(x) = \log(\sin x)$,$x \in \left[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right]$ है,तो लैग्रेंज माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ लागू करने पर $c$ का मान ज्ञात कीजिए।

फलन $f(x) = x(x - 1)^2, x \in [0, 2]$ के लिए अंतराल $(0, 2)$ में माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) को संतुष्ट करने वाले $c$ का मान क्या है?