सात सफेद गेंदें और तीन काली गेंदें यादृच्छिक रूप से एक पंक्ति में रखी गई हैं। इस बात की प्रायिकता क्या है कि कोई भी दो काली गेंदें एक साथ न हों?

$2$ ढाल वाली रेखा $L_1$ और $\frac{1}{2}$ ढाल वाली रेखा $L_2$ मूल बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। प्रथम चतुर्थांश में,$P_1, P_2, \ldots, P_{12}$ रेखा $L_1$ पर $12$ बिंदु हैं और $Q_1, Q_2, \ldots, Q_9$ रेखा $L_2$ पर $9$ बिंदु हैं। तो $22$ बिंदुओं $(O, P_1, P_2, \ldots, P_{12}, Q_1, Q_2, \ldots, Q_9)$ में से तीन बिंदुओं का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले त्रिभुजों की कुल संख्या क्या है?

मान लीजिए कि $p_n$ एक $n$-भुजा वाले नियमित बहुभुज के शीर्षों को जोड़कर बनने वाले त्रिभुजों की कुल संख्या को दर्शाता है। यदि $p_{n+1} - p_n = 66$ है, तो $n$ के सभी भिन्न अभाज्य विभाजकों का योग क्या है?

अष्टभुज में विकर्णों की संख्या कितनी होती है?

रेखाएँ $L_1, L_2, \ldots, L_{20}$ भिन्न हैं। $n=1, 2, 3, \ldots, 10$ के लिए,सभी रेखाएँ $L_{2n-1}$ एक-दूसरे के समांतर हैं और सभी रेखाएँ $L_{2n}$ एक निश्चित बिंदु $P$ से होकर गुजरती हैं। समुच्चय $\{L_1, L_2, \ldots, L_{20}\}$ से रेखाओं के युग्मों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की अधिकतम संख्या क्या है?

यदि $n$ भुजाओं वाले एक बहुभुज में $560$ विकर्ण हैं,तो $n=$