सिद्ध कीजिए कि $\int_{0}^{a} f(x) g(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx$,यदि $f(x) = f(a-x)$ और $g(x) + g(a-x) = 4$ है।

(N/A) माना $I = \int_{0}^{a} f(x) g(x) \, dx$ ..... $(1)$
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{a} f(a-x) g(a-x) \, dx$
दिया है कि $f(x) = f(a-x)$,अतः:
$I = \int_{0}^{a} f(x) g(a-x) \, dx$ ..... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{0}^{a} \{f(x) g(x) + f(x) g(a-x)\} \, dx$
$2I = \int_{0}^{a} f(x) \{g(x) + g(a-x)\} \, dx$
दिया है कि $g(x) + g(a-x) = 4$,अतः:
$2I = \int_{0}^{a} f(x) \times 4 \, dx$
$2I = 4 \int_{0}^{a} f(x) \, dx$
$2$ से भाग देने पर:
$I = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx$