यदि I_{m, n} = int_{0}^{1} x^{m-1}(1-x)^{n-1} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) हमें दिया गया है $I_{m, n} = \int_{0}^{1} x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx$। $x = \frac{1}{1+y}$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = -\frac{1}{(1+y)^2} dy$ प्राप्त हो

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(C) हमें दिया गया है $I_{m, n} = \int_{0}^{1} x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx$। $x = \frac{1}{1+y}$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = -\frac{1}{(1+y)^2} dy$ प्राप्त होता है। जब $x=0, y 	o \infty$ और जब $x=1, y=0$। अतः,$I_{m, n} = \int_{\infty}^{0} (\frac{1}{1+y})^{m-1} (1 - \frac{1}{1+y})^{n-1} (-\frac{1}{(1+y)^2}) dy = \int_{0}^{\infty} \frac{y^{n-1}}{(1+y)^{m+n}} dy$। इसी प्रकार,$I_{m, n} = \int_{0}^{\infty} \frac{y^{m-1}}{(1+y)^{m+n}} dy$। दोनों को जोड़ने पर,$2I_{m, n} = \int_{0}^{\infty} \frac{y^{m-1} + y^{n-1}}{(1+y)^{m+n}} dy$। समाकलन को $y=1$ पर विभाजित करने पर: $2I_{m, n} = \int_{0}^{1} \frac{y^{m-1} + y^{n-1}}{(1+y)^{m+n}} dy + \int_{1}^{\infty} \frac{y^{m-1} + y^{n-1}}{(1+y)^{m+n}} dy$। दूसरे समाकलन में,$y = \frac{1}{t}$ प्रतिस्थापित करने पर,$dy = -\frac{1}{t^2} dt$। $\int_{1}^{\infty} \frac{y^{m-1} + y^{n-1}}{(1+y)^{m+n}} dy = \int_{1}^{0} \frac{(1/t)^{m-1} + (1/t)^{n-1}}{(1 + 1/t)^{m+n}} (-1/t^2) dt = \int_{0}^{1} \frac{t^{n-1} + t^{m-1}}{(t+1)^{m+n}} dt$। अतः,$2I_{m, n} = \int_{0}^{1} \frac{y^{m-1} + y^{n-1}}{(1+y)^{m+n}} dy + \int_{0}^{1} \frac{y^{m-1} + y^{n-1}}{(1+y)^{m+n}} dy = 2 \int_{0}^{1} \frac{y^{m-1} + y^{n-1}}{(1+y)^{m+n}} dy$। इसलिए,$\int_{0}^{1} \frac{x^{m-1} + x^{n-1}}{(1+x)^{m+n}} dx = I_{m, n}$,जिसका अर्थ है कि $\alpha = 1$।

यदि $I_{m, n} = \int_{0}^{1} x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx$ जहाँ $m, n \geq 1$ है और $\int_{0}^{1} \frac{x^{m-1}+x^{n-1}}{(1+x)^{m+n}} dx = \alpha I_{m, n}$,जहाँ $\alpha \in R$,तो $\alpha$ का मान .... है।

Similar Questions

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{1+\tan^4 x} dx = $ . . . . . . .

$\int_{0}^{1} x(1 - x)^{5} dx = . . . . . .$

समाकल $\int_{-1}^{1}\left\{\frac{x^{2015}}{e^{\mid x \mid}\left(x^{2}+\cos x\right)}+\frac{1}{e^{\mid{x} \mid}}\right\} d x$ का मान किसके बराबर है?

यदि $f$ और $g$ अंतराल $[0, a]$ पर सतत फलन हैं जो $f(x) = f(a - x)$ और $g(x) + g(a - x) = 2$ को संतुष्ट करते हैं,तो $\int_0^a f(x)g(x) dx = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module