દર્શાવો કે કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે $12^{n}$ નો અંતિમ અંક $0$ અથવા $5$ હોઈ શકે નહીં.

(N/A) જો કોઈ સંખ્યાનો અંતિમ અંક $0$ અથવા $5$ હોય,તો તે હંમેશા $5$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
જો $12^{n}$ નો અંતિમ અંક $0$ અથવા $5$ હોય,તો તે $5$ વડે વિભાજ્ય હોવું જોઈએ.
આ ત્યારે જ શક્ય છે જો $12^{n}$ ના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં અવિભાજ્ય સંખ્યા $5$ નો સમાવેશ થાય.
હવે,$12$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $12 = 2^{2} \times 3$ છે.
તેથી,$12^{n} = (2^{2} \times 3)^{n} = 2^{2n} \times 3^{n}$ થાય.
અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$12^{n}$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ અનન્ય છે અને તેમાં માત્ર $2$ અને $3$ અવિભાજ્ય અવયવો જ છે.
કારણ કે $5$ એ $12^{n}$ નો અવિભાજ્ય અવયવ નથી,તેથી કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે $12^{n}$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય હોઈ શકે નહીં.
આમ,કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે $12^{n}$ નો અંતિમ અંક $0$ અથવા $5$ હોઈ શકે નહીં.