दर्शाइए कि किसी भी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए $12^{n}$ का अंतिम अंक $0$ या $5$ नहीं हो सकता है।

(N/A) यदि कोई संख्या $0$ या $5$ अंक पर समाप्त होती है,तो वह हमेशा $5$ से विभाज्य होती है।
यदि $12^{n}$ का अंतिम अंक $0$ या $5$ है,तो इसे $5$ से विभाज्य होना चाहिए।
यह केवल तभी संभव है जब $12^{n}$ के अभाज्य गुणनखंडन में अभाज्य संख्या $5$ शामिल हो।
अब,$12$ का अभाज्य गुणनखंडन $12 = 2^{2} \times 3$ है।
इसलिए,$12^{n} = (2^{2} \times 3)^{n} = 2^{2n} \times 3^{n}$ होता है।
अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार,$12^{n}$ का अभाज्य गुणनखंडन अद्वितीय है और इसमें केवल $2$ और $3$ अभाज्य गुणनखंड ही हैं।
चूंकि $5$,$12^{n}$ का अभाज्य गुणनखंड नहीं है,इसलिए किसी भी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए $12^{n}$,$5$ से विभाज्य नहीं हो सकता है।
अतः,किसी भी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए $12^{n}$ का अंतिम अंक $0$ या $5$ नहीं हो सकता है।