सिद्ध कीजिए कि समुच्चय $A = \{x \in Z : 0 \leq x \leq 12\}$ में दिया गया संबंध $R = \{(a, b) : a = b\}$ एक तुल्यता संबंध है। $1$ से संबंधित सभी अवयवों का समुच्चय ज्ञात कीजिए।
(A) संबंध $R = \{(a, b) : a = b\}$ समुच्चय $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$ पर परिभाषित है।
$1$. स्वतुल्यता: किसी भी अवयव $a \in A$ के लिए,$(a, a) \in R$ क्योंकि $a = a$ है। अतः,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: मान लीजिए $(a, b) \in R.$ इसका अर्थ है $a = b,$ जो यह दर्शाता है कि $b = a.$ अतः,$(b, a) \in R.$ इस प्रकार,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: मान लीजिए $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R.$ इसका अर्थ है $a = b$ और $b = c.$ परिणामस्वरूप,$a = c,$ जिसका अर्थ है कि $(a, c) \in R.$ इस प्रकार,$R$ संक्रामक है।
चूंकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।
$1$ से संबंधित सभी अवयवों का समुच्चय उन सभी $x \in A$ का समुच्चय है जिनके लिए $(x, 1) \in R.$ चूंकि $x = 1,$ इसलिए केवल एक ही अवयव $1$ प्राप्त होता है। अतः,अभीष्ट समुच्चय $\{1\}$ है।
$1$. स्वतुल्यता: किसी भी अवयव $a \in A$ के लिए,$(a, a) \in R$ क्योंकि $a = a$ है। अतः,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: मान लीजिए $(a, b) \in R.$ इसका अर्थ है $a = b,$ जो यह दर्शाता है कि $b = a.$ अतः,$(b, a) \in R.$ इस प्रकार,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: मान लीजिए $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R.$ इसका अर्थ है $a = b$ और $b = c.$ परिणामस्वरूप,$a = c,$ जिसका अर्थ है कि $(a, c) \in R.$ इस प्रकार,$R$ संक्रामक है।
चूंकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।
$1$ से संबंधित सभी अवयवों का समुच्चय उन सभी $x \in A$ का समुच्चय है जिनके लिए $(x, 1) \in R.$ चूंकि $x = 1,$ इसलिए केवल एक ही अवयव $1$ प्राप्त होता है। अतः,अभीष्ट समुच्चय $\{1\}$ है।
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