सिद्ध कीजिए कि फलन $f : R \rightarrow \{ x \in R : -1 < x < 1 \}$ जो $f(x) = \frac{x}{1+|x|}$ द्वारा परिभाषित है,एकैकी और आच्छादक फलन है।

(A) दिया गया है कि $f : R \rightarrow \{ x \in R : -1 < x < 1 \}$ जहाँ $f(x) = \frac{x}{1+|x|}$ है।
एकैकी के लिए:
मान लीजिए $x, y \in R$ के लिए $f(x) = f(y)$ है।
यदि $x$ और $y$ के चिह्न विपरीत हैं,जैसे $x > 0$ और $y < 0$,तो $f(x) = \frac{x}{1+x} > 0$ और $f(y) = \frac{y}{1-y} < 0$ होगा। अतः $f(x) \neq f(y)$।
यदि $x, y \geq 0$ है,तो $\frac{x}{1+x} = \frac{y}{1+y} \Rightarrow x + xy = y + xy \Rightarrow x = y$।
यदि $x, y < 0$ है,तो $\frac{x}{1-x} = \frac{y}{1-y} \Rightarrow x - xy = y - xy \Rightarrow x = y$।
अतः,$f$ एकैकी है।
आच्छादक के लिए:
मान लीजिए $y \in (-1, 1)$ है। हमें $x \in R$ ज्ञात करना है ताकि $f(x) = y$ हो।
यदि $y \geq 0$ है,तो $x = \frac{y}{1-y}$ लें। चूँकि $0 \leq y < 1$,इसलिए $x \geq 0$ है। तब $f(x) = \frac{\frac{y}{1-y}}{1 + \frac{y}{1-y}} = \frac{y}{1-y+y} = y$।
यदि $y < 0$ है,तो $x = \frac{y}{1+y}$ लें। चूँकि $-1 < y < 0$,इसलिए $x < 0$ है। तब $f(x) = \frac{\frac{y}{1+y}}{1 - \frac{y}{1+y}} = \frac{y}{1+y-y} = y$।
चूँकि प्रत्येक $y \in (-1, 1)$ के लिए एक $x \in R$ मौजूद है ताकि $f(x) = y$,इसलिए $f$ आच्छादक है।
अतः,$f$ एकैकी और आच्छादक है।