$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોલકમાં અંતર્ગત મહત્તમ ઘનફળ ધરાવતા લંબવૃત્તીય શંકુની ઊંચાઈ $\frac{4r}{3}$ છે તેમ સાબિત કરો.

(A) ધારો કે ગોલકની ત્રિજ્યા $r$ છે. શંકુની પાયાની ત્રિજ્યા $R$ અને ઊંચાઈ $h$ છે. ગોલકનું કેન્દ્ર $B$ છે. શંકુનું શિરોબિંદુ $A$ છે અને પાયાની ત્રિજ્યા $CD$ છે. $\triangle BCD$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$BC^2 + CD^2 = BD^2$. અહીં $BD = r$ અને $CD = R$ હોવાથી,$BC = \sqrt{r^2 - R^2}$ મળે. શંકુની ઊંચાઈ $h = AB + BC = r + \sqrt{r^2 - R^2}$ થાય.
શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi R^2 (r + \sqrt{r^2 - R^2}) = \frac{1}{3} \pi R^2 r + \frac{1}{3} \pi R^2 \sqrt{r^2 - R^2}$ છે.
$V$ ને મહત્તમ કરવા માટે,$R$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dR} = \frac{1}{3} \pi [2Rr + 2R\sqrt{r^2 - R^2} + R^2 \cdot \frac{-2R}{2\sqrt{r^2 - R^2}}] = \frac{1}{3} \pi [2Rr + \frac{2R(r^2 - R^2) - R^3}{\sqrt{r^2 - R^2}}] = \frac{1}{3} \pi [2Rr + \frac{2Rr^2 - 3R^3}{\sqrt{r^2 - R^2}}]$.
$\frac{dV}{dR} = 0$ લેતા,$2Rr\sqrt{r^2 - R^2} = 3R^3 - 2Rr^2$ મળે. $R$ વડે ભાગતા $(R \neq 0)$:
$2r\sqrt{r^2 - R^2} = 3R^2 - 2r^2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4r^2(r^2 - R^2) = (3R^2 - 2r^2)^2 = 9R^4 - 12R^2r^2 + 4r^4$.
$4r^4 - 4r^2R^2 = 9R^4 - 12R^2r^2 + 4r^4$.
$9R^4 - 8R^2r^2 = 0 \Rightarrow R^2(9R^2 - 8r^2) = 0$.
$R \neq 0$ હોવાથી,$R^2 = \frac{8r^2}{9}$.
ઊંચાઈના સૂત્રમાં $R^2$ ની કિંમત મૂકતા:
$h = r + \sqrt{r^2 - \frac{8r^2}{9}} = r + \sqrt{\frac{r^2}{9}} = r + \frac{r}{3} = \frac{4r}{3}$.
આમ,મહત્તમ ઘનફળ ધરાવતા શંકુની ઊંચાઈ $\frac{4r}{3}$ છે.