ધારો કે $p$ ના તમામ મૂલ્યોનો ગણ,જેના માટે $f(x) = (p^2 - 6p + 8)(\sin^2 2x - \cos^2 2x) + 2(2 - p)x + 7$ ને કોઈ ક્રાંતિક બિંદુ (critical point) નથી,તે અંતરાલ $(a, b)$ છે. તો $16ab$ નું મૂલ્ય .......... છે.

ધારો કે $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ એક વિધેય છે. ધારો કે $f$ બે વાર વિકલનીય છે,$f(0)=f(1)=0$ અને $x \in[0,1]$ માટે $f^{\prime \prime}(x)-2 f^{\prime}(x)+f(x) \geq e^x$ નું પાલન કરે છે.
$1.$ $0 < x < 1$ માટે નીચેનામાંથી કયું સત્ય છે?
$(A)$ $0 < f(x) < \infty$
$(B)$ $-\frac{1}{2} < f(x) < \frac{1}{2}$
$(C)$ $-\frac{1}{4} < f(x) < 1$
$(D)$ $-\infty < f(x) < 0$
$2.$ જો વિધેય $g(x) = e^{-x} f(x)$ અંતરાલ $[0,1]$ માં તેનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $x=\frac{1}{4}$ પર ધારણ કરે છે,તો નીચેનામાંથી કયું સત્ય છે?
$(A)$ $f^{\prime}(x) < f(x)$ માટે $x \in (0, 1/4)$
$(B)$ $f^{\prime}(x) > f(x)$ માટે $x \in (0, 1/4)$
$(C)$ $f^{\prime}(x) < f(x)$ માટે $x \in (1/4, 1)$
$(D)$ $f^{\prime}(x) > f(x)$ માટે $x \in (1/4, 1)$

અંતરાલ $[1, 5]$ પર વિધેય $f(x) = 2x^{3} - 15x^{2} + 36x + 1$ માટે નિરપેક્ષ મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યો શોધો.

બે ધન સંખ્યાઓ શોધો જેમનો સરવાળો $16$ હોય અને તેમના ઘનનો સરવાળો ન્યૂનતમ હોય.

જો વિધેય $f(x) = 1 + a^2x - x^3$ નું ન્યૂનતમ બિંદુ અસમતા $\frac{x^2 + x + 2}{x^2 + 5x + 6} < 0$ નું સમાધાન કરે,તો $'a'$ કયા અંતરાલમાં હોવું જોઈએ?

અંતરાલ $[1, 10]$ માં વિધેય $f(x) = x^{3} - 12x^{2} + 36x + 17$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.