सिद्ध कीजिए कि फलन $f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 4x$,$x \in R$ द्वारा प्रदत्त फलन $R$ पर वर्धमान है।

(N/A) यह निर्धारित करने के लिए कि फलन $f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 4x$,$R$ पर वर्धमान है या नहीं,हम $x$ के सापेक्ष इसका अवकलन करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{3} - 3x^{2} + 4x) = 3x^{2} - 6x + 4$
अब,हम $f'(x)$ के व्यंजक को पूर्ण वर्ग बनाकर पुनः लिखते हैं:
$f'(x) = 3(x^{2} - 2x) + 4$
$f'(x) = 3(x^{2} - 2x + 1 - 1) + 4$
$f'(x) = 3((x - 1)^{2} - 1) + 4$
$f'(x) = 3(x - 1)^{2} - 3 + 4$
$f'(x) = 3(x - 1)^{2} + 1$
चूँकि सभी $x \in R$ के लिए $(x - 1)^{2} \geq 0$ होता है,इसलिए $3(x - 1)^{2} \geq 0$ होगा।
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर,हमें $3(x - 1)^{2} + 1 \geq 1$ प्राप्त होता है।
अतः,सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) > 0$ है।
चूँकि अवकलज $f'(x)$ प्रांत $R$ के सभी $x$ के लिए $0$ से बड़ा है,इसलिए फलन $f(x)$,$R$ पर वर्धमान है।