સાબિત કરો કે એક ગતિશીલ બિંદુનો પથ,જેનું બે રેખાઓ $3x - 2y = 5$ અને $3x + 2y = 5$ થી અંતર સમાન હોય,તે એક સીધી રેખા છે.

(N/A) આપેલી રેખાઓ $3x - 2y - 5 = 0$ $(1)$ અને $3x + 2y - 5 = 0$ $(2)$ છે.
ધારો કે $(h, k)$ એવું કોઈ બિંદુ છે જેનું રેખાઓ $(1)$ અને $(2)$ થી અંતર સમાન છે.
રેખા $(1)$ થી $(h, k)$ નું અંતર $\frac{|3h - 2k - 5|}{\sqrt{3^2 + (-2)^2}} = \frac{|3h - 2k - 5|}{\sqrt{13}}$ છે.
રેખા $(2)$ થી $(h, k)$ નું અંતર $\frac{|3h + 2k - 5|}{\sqrt{3^2 + 2^2}} = \frac{|3h + 2k - 5|}{\sqrt{13}}$ છે.
અંતર સમાન હોવાથી,$\frac{|3h - 2k - 5|}{\sqrt{13}} = \frac{|3h + 2k - 5|}{\sqrt{13}}$,જેનો અર્થ છે કે $|3h - 2k - 5| = |3h + 2k - 5|$.
આના બે કિસ્સાઓ મળે છે:
કિસ્સો $1$: $3h - 2k - 5 = 3h + 2k - 5 \implies -2k = 2k \implies 4k = 0 \implies k = 0$.
કિસ્સો $2$: $3h - 2k - 5 = -(3h + 2k - 5) \implies 3h - 2k - 5 = -3h - 2k + 5 \implies 6h = 10 \implies h = \frac{5}{3}$.
આમ,બિંદુ $(h, k)$ નો બિંદુપથ $y = 0$ અથવા $x = \frac{5}{3}$ છે,જે બંને સીધી રેખાઓ દર્શાવે છે.