दर्शाइए कि बिंदु $(\hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k})$ और $3(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ समतल $\vec{r} \cdot(5 \hat{i}+2 \hat{j}-7 \hat{k})+9=0$ से समान दूरी पर हैं और इसके विपरीत दिशाओं में स्थित हैं।

(N/A) माना दिए गए बिंदु $\vec{a} = \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$ और $\vec{b} = 3\hat{i}+3\hat{j}+3\hat{k}$ हैं। समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot(5 \hat{i}+2 \hat{j}-7 \hat{k})+9=0$ है।
बिंदु $\vec{p}$ की समतल $\vec{r} \cdot \vec{n} + d_0 = 0$ से दूरी $d = \frac{|\vec{p} \cdot \vec{n} + d_0|}{|\vec{n}|}$ द्वारा दी जाती है।
बिंदु $\vec{a}$ के लिए:
$d_1 = \frac{|(1)(5) + (-1)(2) + (3)(-7) + 9|}{\sqrt{5^2 + 2^2 + (-7)^2}} = \frac{|5 - 2 - 21 + 9|}{\sqrt{25 + 4 + 49}} = \frac{|-9|}{\sqrt{78}} = \frac{9}{\sqrt{78}}$.
बिंदु $\vec{b}$ के लिए:
$d_2 = \frac{|(3)(5) + (3)(2) + (3)(-7) + 9|}{\sqrt{5^2 + 2^2 + (-7)^2}} = \frac{|15 + 6 - 21 + 9|}{\sqrt{78}} = \frac{|9|}{\sqrt{78}} = \frac{9}{\sqrt{78}}$.
चूंकि $d_1 = d_2$,इसलिए बिंदु समान दूरी पर हैं।
दिशाओं की जांच करने के लिए,हम दोनों बिंदुओं के लिए $f(\vec{r}) = \vec{r} \cdot \vec{n} + d_0$ का मान निकालते हैं:
$f(\vec{a}) = 5 - 2 - 21 + 9 = -9 < 0$.
$f(\vec{b}) = 15 + 6 - 21 + 9 = 9 > 0$.
चूंकि मानों के चिह्न विपरीत हैं,इसलिए बिंदु समतल के विपरीत दिशाओं में स्थित हैं।