सिद्ध कीजिए कि एक $G.P.$ के प्रथम $n$ पदों के योगफल और $(n+1)^{th}$ से $(2n)^{th}$ पद तक के पदों के योगफल का अनुपात $\frac{1}{r^{n}}$ है।

माना $a$ प्रथम पद है और $r$ $G.P.$ का सार्व अनुपात है।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ द्वारा दिया जाता है।
$(n+1)^{th}$ से $(2n)^{th}$ पद तक के पद एक $G.P.$ बनाते हैं जिसका प्रथम पद $a_{n+1} = ar^n$ है और पदों की संख्या $n$ है।
इन पदों का योग $S' = \frac{a_{n+1}(1-r^n)}{1-r} = \frac{ar^n(1-r^n)}{1-r}$ है।
प्रथम $n$ पदों के योग और $(n+1)^{th}$ से $(2n)^{th}$ पद तक के योग का अनुपात:
$\text{अनुपात} = \frac{\frac{a(1-r^n)}{1-r}}{\frac{ar^n(1-r^n)}{1-r}} = \frac{a(1-r^n)}{1-r} \times \frac{1-r}{ar^n(1-r^n)} = \frac{1}{r^n}$.
अतः,अनुपात $\frac{1}{r^n}$ है।