સાબિત કરો કે $G.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળા અને $(n+1)^{th}$ થી $(2n)^{th}$ પદ સુધીના પદોના સરવાળાનો ગુણોત્તર $\frac{1}{r^{n}}$ છે.

ધારો કે $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $r$ એ $G.P.$ નો સામાન્ય ગુણોત્તર છે.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(n+1)^{th}$ થી $(2n)^{th}$ પદ સુધીના પદો એક $G.P.$ બનાવે છે જેનું પ્રથમ પદ $a_{n+1} = ar^n$ છે અને પદોની સંખ્યા $n$ છે.
આ પદોનો સરવાળો $S' = \frac{a_{n+1}(1-r^n)}{1-r} = \frac{ar^n(1-r^n)}{1-r}$ છે.
પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળા અને $(n+1)^{th}$ થી $(2n)^{th}$ પદ સુધીના સરવાળાનો ગુણોત્તર:
$\text{ગુણોત્તર} = \frac{\frac{a(1-r^n)}{1-r}}{\frac{ar^n(1-r^n)}{1-r}} = \frac{a(1-r^n)}{1-r} \times \frac{1-r}{ar^n(1-r^n)} = \frac{1}{r^n}$.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{1}{r^n}$ છે.