સાબિત કરો કે વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ $\mathbb{R}$ પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ $R = \{(a, b) : a \leq b^2\}$ એ સ્વવાચક,સંમિત કે પરંપરિત નથી.

(N/A) $(i)$ સ્વવાચક: જો દરેક $a \in \mathbb{R}$ માટે $(a, a) \in R$ હોય,તો સંબંધ $R$ સ્વવાચક કહેવાય.
ધારો કે $a = \frac{1}{2}$. અહીં $\frac{1}{2} > (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$ હોવાથી,$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \notin R$ થાય.
તેથી,$R$ સ્વવાચક નથી.
$(ii)$ સંમિત: જો $(a, b) \in R$ હોય અને તેના પરથી $(b, a) \in R$ મળે,તો સંબંધ $R$ સંમિત કહેવાય.
ધારો કે $(1, 4) \in R$ કારણ કે $1 \leq 4^2 = 16$. પરંતુ $4 \not\leq 1^2 = 1$ હોવાથી,$(4, 1) \notin R$ થાય.
તેથી,$R$ સંમિત નથી.
$(iii)$ પરંપરિત: જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$ હોય,તો $(a, c) \in R$ થવું જોઈએ.
ધારો કે $(3, 2) \in R$ (કારણ કે $3 \leq 2^2 = 4$) અને $(2, 1.5) \in R$ (કારણ કે $2 \leq 1.5^2 = 2.25$).
પરંતુ $3 \not\leq 1.5^2 = 2.25$ હોવાથી,$(3, 1.5) \notin R$ થાય.
તેથી,$R$ પરંપરિત નથી.
નિષ્કર્ષ: સંબંધ $R$ એ સ્વવાચક,સંમિત કે પરંપરિત નથી.