सिद्ध कीजिए कि सभी बहुभुजों के समुच्चय $A$ में परिभाषित संबंध $R = \{(P_{1}, P_{2}) : P_{1} \text{ और } P_{2} \text{ की भुजाओं की संख्या समान है}\}$ एक तुल्यता संबंध है। $3, 4 \text{ और } 5$ भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज $T$ से संबंधित $A$ के सभी अवयवों का समुच्चय क्या है?

(A) संबंध $R = \{(P_{1}, P_{2}) : P_{1} \text{ और } P_{2} \text{ की भुजाओं की संख्या समान है}\}$ के रूप में परिभाषित है।
$1.$ स्वतुल्यता: किसी भी बहुभुज $P_{1} \in A$ के लिए,$(P_{1}, P_{1}) \in R$ क्योंकि $P_{1}$ की भुजाओं की संख्या स्वयं के समान ही होती है। अतः,$R$ स्वतुल्य है।
$2.$ सममितता: मान लीजिए $(P_{1}, P_{2}) \in R$ है। इसका अर्थ है कि $P_{1}$ और $P_{2}$ की भुजाओं की संख्या समान है। परिणामस्वरूप,$P_{2}$ और $P_{1}$ की भुजाओं की संख्या भी समान होगी,इसलिए $(P_{2}, P_{1}) \in R$ है। अतः,$R$ सममित है।
$3.$ संक्रामकता: मान लीजिए $(P_{1}, P_{2}) \in R$ और $(P_{2}, P_{3}) \in R$ है। इसका अर्थ है कि $P_{1}$ और $P_{2}$ की भुजाओं की संख्या समान है,और $P_{2}$ और $P_{3}$ की भुजाओं की संख्या समान है। इसलिए,$P_{1}$ और $P_{3}$ की भुजाओं की संख्या भी समान होगी,अतः $(P_{1}, P_{3}) \in R$ है। अतः,$R$ संक्रामक है।
चूंकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।
समकोण त्रिभुज $T$ से संबंधित $A$ के सभी अवयवों का समुच्चय उन सभी बहुभुजों से बना है जिनकी भुजाओं की संख्या $T$ के समान है। चूंकि $T$ में $3$ भुजाएँ हैं,इसलिए यह समुच्चय $A$ में स्थित सभी त्रिभुजों का समूह है।