दर्शाइए कि किसी भी विषम पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांक $q$ के लिए $4q + 1$ के रूप का होता है।

(N/A) माना $a$ एक विषम पूर्णांक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किसी धनात्मक पूर्णांक $b=4$ के लिए,$a = 4k + r$ होता है,जहाँ $0 \leq r < 4$ है।
चूँकि $a$ विषम है,इसलिए $r$ का मान केवल $1$ या $3$ हो सकता है।
स्थिति $1$: यदि $r = 1$ है,तो $a = 4k + 1$ होगा।
$a^2 = (4k + 1)^2 = 16k^2 + 8k + 1 = 4(4k^2 + 2k) + 1$।
माना $q = 4k^2 + 2k$,जो एक पूर्णांक है। अतः,$a^2 = 4q + 1$।
स्थिति $2$: यदि $r = 3$ है,तो $a = 4k + 3$ होगा।
$a^2 = (4k + 3)^2 = 16k^2 + 24k + 9 = 16k^2 + 24k + 8 + 1 = 4(4k^2 + 6k + 2) + 1$।
माना $q = 4k^2 + 6k + 2$,जो एक पूर्णांक है। अतः,$a^2 = 4q + 1$।
दोनों स्थितियों में,किसी विषम पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांक $q$ के लिए $4q + 1$ के रूप का होता है।